А мне кажется, что имобилайзер на стартер не влияет. Раз уж не крутит стартер - то скорее всего дело в нем. Похожая ситуация была на десятке. Особенно зимой. Вылечилась - заменой стартера.
На той машине проблема пропала после отключения иммо. Непонятно... у всех по разному
Древовидный вид